Schwankungen — Wachstumsrate 7
eine beträchtliche. Zahl von Kurventypen erforderlich. Will man an
die analytische Darstellung der Fluktuationen schreiten, so muß man
die geometrische Form vieler algebraischer und sonstiger mathemati-
scher Ausdrücke kennen, und soll zu gegebener graphischer Darstellung
einer Reihe statistischer Ergebnisse der adäquate mathematische Aus-
druck gegeben werden, so handelt es sich darum, die vorliegende Kurve
unter eine der bekannten Formeln zu bringen. Ist die Wahl vollzogen,
so stellt sich die Aufgabe ein, die Konstanten (Parameter) der zuge-
hörigen Gleichung zu ermitteln. Mit Rücksicht auf diesen Sachverhalt
hat es sich als wünschenswert herausgestellt, eine beträchtliche Anzahl
von Formeln anzugeben und Methoden auszuarbeiten, mit deren Hilfe
ihre Koeffizienten (oder allgemeiner ihre Parameter) bestimmt werden
können, wodurch. der mathematische Ausdruck erst seine endgültige
Bedeutung erlangt. Dies war um so notwendiger, als das Anpassen an
eine Kurve, wie es sich in der Statistik beständig wiederholt, eine eigene
Kunst ist, die noch in den Anfängen steckt. Es wird sich zeigen, daß
die mathematische Interpretation statistischer Ergebnisse beträchtliche
Anforderungen stellt an die Technik des Kurvengeichnens.*)
IL Verschiedene Typen der Fluktuation von Bevölkerungen,
1. Der mathematische Begriff der Wachstumsrate. Eine
irgendwie fluktnuierende — wachsende oder abnehmende — Bevölkerung
denken wir uns ersetzt durch eine fiktive, von der wir annehmen, daß
sie in jedem infinitesimalen Zeitteilchen d% sich in der Zeiteinheit in
irgendeinem. Verhältnis o’zu ihrer augenblicklichen Größe ändert, der-
art, daß aus der Bevölkerung B, zur Zeit £ nach Verlauf von dt eine
Bevölkerung D,,, hervorgeht, die sich wie folgt ausdrückt: .
Barat = Bo Bdt= B,(1 + 0dt) — HB e04 (1)
Bei positivem 9 hat.man es mit einem Wachsen, bei negativem €
mit einer Abnahme zu tun.
Die Wachstumsrate 9 kann konstant sein, in welchem Falle sie mit
„y.bezeichnet werden soll; die Regel. aber wird eine mit der Zeit varı
‘jerende Rate sein, für welche die Bezeichnung 9 oder ®(£) benützt wer-
den soll. In letzterem Falle hat man also den Ansatz;
Baia = B[1L+ PS (Ödi]. ; (la)
2. Bestimmung der Bevölkerung für einen späteren Zeitpunkt
bei konstanter Wachstumsrate. Unter dieser Voraussetzung folgt
aus (1) A007 am Ende dB, = rBdt
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1) An Behelfen hierzu sind zu nennen: G. Loria, Spezielle algebraische
und transzendente Kurven, 2 Bde., Teubner, Leipzig 1910—11; W. Laska, Samm:
Jung von Formeln der reinen und angewandten Mathematik, Vieweg & Sohn.
Braunschweig, 1888-—94; Frost, Curve Tracing; F. Auerbach, Physik in gra-
phischen Darstellungen, Teubner, Leipzig 1912.
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